پردازش سیگنال مدتهاست که تحت سلطه تبدیل فوریه قرار گرفته است. با این حال ، یک تبدیل متناوب وجود دارد که اخیراً محبوبیت خود را به دست آورده است و این تبدیل موجک است. تبدیل موجک دارای سابقه طولانی از سال 1910 است که آلفرد هار آن را به عنوان جایگزینی برای تبدیل فوریه ایجاد کرد. در سال 1940 نورمن ریکر اولین موجک مداوم را ایجاد کرد و اصطلاح موجک را پیشنهاد کرد. کار در این زمینه متناسب بوده و در بسیاری از رشته های مختلف شروع می شود ، تا دهه 1990 که تبدیل موجک گسسته توسط اینگرید داوبچیز توسعه یافت. در حالی که تبدیل فوریه نمایشی از سیگنال را در دامنه فرکانس ایجاد می کند ، تبدیل موجک نمایشی از سیگنال را در هر دو دامنه زمان و فرکانس ایجاد می کند ، در نتیجه امکان دسترسی کارآمد از اطلاعات بومی شده در مورد سیگنال را فراهم می کند.
کلید واژه ها
- تجزیه و تحلیل فرکانس زمان
- تبدیل فوریه
- تبدیل موجک
- پردازش سیگنال
- لحظه ناپدید شدن
اطلاعات نویسنده
کارلتون WIRSING *
- ویرجینیا پلی تکنیک و دانشگاه ایالتی ، ماناسا ، ویرجینیا ، ایالات متحده
*به کلیه مکاتبات با: kwirsing@vt. edu آدرس دهید
1. مقدمه
تبدیل فوریه از زمان توسعه تبدیل سریع فوریه در سال 1965 توسط کولی و توکی در [1] ، اساس پردازش سیگنال دیجیتال بوده است. استفاده از آن برای تجزیه و تحلیل با توسعه تبدیل فوریه توسط ژان باپتیست جوزف فوریه در سال 1807 به عنوان راه حل معادلات ترمودینامیکی بسیار دورتر برمی گردد. با استفاده از تبدیل فوریه ، می توانیم هر سیگنال را بگیریم و دامنه سینوسی های مورد نیاز برای بازآفرینی آن را بدست آوریم. سپس می توانیم از این اطلاعات برای به دست آوردن طیف قدرت سیگنال استفاده کنیم ، یا دامنه ها را اصلاح کرده و تبدیل فوریه معکوس سیگنال را می گیریم ، که سپس سیگنال را فیلتر می کند.
محدودیت اساسی تبدیل فوریه این است که تمام خصوصیات یک سیگنال در دامنه جهانی است. اطلاعات مربوط به ویژگی های محلی سیگنال ، مانند تغییر در فرکانس ، به یک ویژگی جهانی سیگنال در حوزه فرکانس تبدیل می شود. روشهای مختلفی برای پرداختن به این محدودیت پیشنهاد شده است. دو مورد اصلی تبدیل و موجک های فوریه پنجره ای هستند.
گابور [2] تبدیل فوریه پنجره‌دار را در سال 1946 ایجاد کرد. این تبدیل یک تابع پنجره با مدت زمان کوتاه را به سیگنال اعمال می‌کند و تبدیل فوریه به داده‌های حاصل اعمال می‌شود. این روش اغلب استفاده می شود؛با این حال، دو محدودیت در این روش وجود دارد. اولین مورد این است که از آنجایی که پنجره فیلتر ثابت است، اگر ویژگی بزرگتر یا کوتاهتر از پنجره باشد، مشکلاتی ایجاد می کند. دوم اینکه وضوح زمانی برای فرکانسهای بالا یکسان است و برای فرکانسهای پایین. از آنجایی که با افزایش فرکانس، نرخ تغییر سیگنال نیز افزایش می‌یابد، سیگنال‌های فرکانس بالاتر می‌توانند اطلاعات بیشتری در همان بازه زمانی سیگنال‌های فرکانس پایین‌تر داشته باشند و بنابراین به وضوح زمانی بالاتری نیاز دارند.
موجک‌ها بر هر دو این محدودیت‌ها غلبه می‌کنند، زیرا پنجره از نظر زمان و فرکانس مقیاس‌بندی می‌شود. اصطلاح موجک توسط ریکر [3] در سال 1940 برای توصیف توابع مدت زمان محدودی که او برای مدل‌سازی پدیده‌های لرزه‌ای ایجاد کرد، معرفی شد. اولین موجک پیشتر، در سال 1910، توسط هار [4] به عنوان جایگزینی برای تبدیل فوریه ایجاد شد که در سال 1807 توسط فوریه [5] توسعه یافت. کار بر روی تبدیل موجک به آرامی در قرن بیستم انجام شد تا اینکه در دهه 1980 کار بر روی آنها با توسعه تبدیل موجک پیوسته افزایش یافت. در دهه 1990، تبدیل موجک گسسته و معکوس آن ایجاد شد که امکان فیلتر کردن و فشرده‌سازی سیگنال‌ها را فراهم کرد.
تبدیل موجک نسبت به تبدیل فوریه حالت‌های عملکرد و گزینه‌های بیشتری دارد. این یکی از مشکلات کلیدی استفاده از موجک است. ما می توانیم از همه گزینه هایی که با آنها در دسترس داریم غرق شویم. این فصل برخی از این گزینه ها را مرور می کند و کاربرد آنها را نشان می دهد.
2. تبدیل فوریه
تبدیل فوریه اولین بار در سال 1822 توسط جوزف فوریه [6] منتشر شد. یک تابع ریاضی را از حوزه زمان به حوزه فرکانس تبدیل می کند. این به ما امکان می‌دهد تا ویژگی‌های جدیدی از تابع را پیدا کنیم که در غیر این صورت پنهان می‌شدند. چندین تغییر مختلف از معادله تبدیل فوریه وجود دارد. در این فصل از معادله سنتی مهندسی برق استفاده می کنیم
برای تبدیل f(t) به حوزه فرکانس.
خود تبدیل فوریه برای عملکردهای مداوم است. تبدیل گسسته فوریه برای مشاهدات نجومی توسعه یافته است. هدف محاسبه یک معادله مثلثاتی برای مدار یک شیء در آسمان بر اساس مشاهدات صعود و کاهش آن در نقاط مختلف زمان بود. بیشتر مجموعه داده ها از نقاط گسسته ای در زمان نمونه برداری شده است. اینها را می توان با تبدیل گسسته فوریه به دامنه فرکانس و همچنین تبدیل کرد. پیچیدگی محاسباتی این o (n 2) است.
نکته جالب در مورد تبدیل سریع فوریه این است که در واقع از تبدیل فوریه پیش بینی می کند. در حالی که تبدیل سریع فوریه که اکنون از آنها استفاده می کنیم در مقاله ای توسط کولی و توکی [1] در سال 1967 منتشر شد ، یک الگوریتم از نظر عملکردی معادل آن در یک اثر منتشر نشده توسط کارل فردریش گاوس [7] یافت شد که به نظر می رسد تا سال 1805. تاریخ جذاب تبدیل سریع فوریه در [8] است. گاوس در حال محاسبه تبدیل گسسته فوریه از 12 امتیاز بود و خاطرنشان کرد: این مشکل می تواند به زیرزمینی تقسیم شود که می تواند تعداد مراحل مورد استفاده را ساده کند [5].
تبدیل سریع فوریه پیچیدگی محاسباتی تبدیل گسسته فوریه را از O (n 2) به O (n log) کاهش می دهد2n). این امکان محاسبات کارآمد سری زمانی را فراهم می کند. جدول 1 نشان می دهد که چگونه پیچیدگی محاسباتی برای یک فرآیند O (n 2) در مقابل یک O (n log افزایش می یابد2n) فرآیند. تفاوت بین دو فرآیند تا 1 میلیون نقطه داده افزایش می یابد ، تبدیل گسسته فوریه به بیش از 50،000 برابر مقدار زمانی که تبدیل سریع فوریه نیاز دارد نیاز دارد.
| n | o (n 2) | o (n log2n) | نسبت |
|---|---|---|---|
| 10 | 100 | 34 | 2. 94 |
| 100 | 10،000 | 665 | 15. 04 |
| 1000 | 1000،000 | 9966 | 100. 34 |
| 10،000 | 100،000،000 | 132،878 | 752. 57 |
| 100000 | 10،000،000،000 | 1،660،965 | 6020. 60 |
| 1000،000 | 1e+12 | 1،9931،569 | 50171. 66 |
میز 1.
پیچیدگی محاسباتی O (n 2) در مقابل o (n log2n).
اشکال با تبدیل فوریه این است که تمام اطلاعات سیگنال در کل محدوده تبدیل است. همانطور که در [9] بیان شد ، "یک ویژگی محلی سیگنال به یک ویژگی جهانی تبدیل تبدیل می شود". همانطور که توسط نویسندگان دیگر نشان داده شده است [10] ، بهترین راه که می توان این موضوع را توضیح داد ، با نمره موسیقی همانطور که در شکل 1 نشان داده شده است.
شکل 1.
افتتاح سمفونی 5 بتهوون [11].
این نمره شامل نت های مختلف بسیاری است که هر کدام دارای مدت زمان محدود هستند و هر یک در یک زمان دقیق اتفاق می افتد. تبدیل فوریه این سیگنال متوسط دامنه فرکانسهای فردی را در کل قطعه به شما می دهد ، اما مدت و محل یادداشت ها را مبهم می کند. طیف قدرت فوریه موسیقی اغلب از سر و صدای صورتی (1/f) تقریب می یابد [12]. این اطلاعات از بین نمی رود ، زیرا تبدیل فوریه برگشت پذیر است ، اما در مرحله تبدیل فوریه رمزگذاری می شود.
3. تبدیل فوریه پنجره
در سال 1946 ، گابور [2] دگرگونی Windowed Fourier را به عنوان راهی برای مقابله با این مشکل پیشنهاد داد. در آن ، یک تابع پنجره ای از مدت زمان کوتاه به سیگنال اعمال می شود و تبدیل فوریه گرفته می شود. این در مکانهای مختلف سیگنال تکرار می شود. نمونه ای از استفاده از عملکرد پنجره چکش در شکل 2 نشان داده شده است.
شکل 2.
عملکرد چند پنجره چکش در مکان های پی در پی در زمان.
یکی از محدودیت های تبدیل فوریه پنجره این است که طول پنجره ثابت است. هنگامی که یک ویژگی سیگنال بسیار کوتاه تر از پنجره است ، اطلاعات مربوط به آن می تواند دشوار باشد ، زیرا هر خاصیت محلی در مدت زمان پنجره به یک ویژگی جهانی تبدیل فوریه پنجره تبدیل می شود ، همانطور که قبلاً ذکر شد. برعکس ، هنگامی که یک ویژگی سیگنال از عملکرد ویندوز بزرگتر است ، اطلاعات مربوط به آن دارای چندین ویندوز است و استخراج آن نیز دشوار است.
محدودیت دیگر این است که وضوح زمان برای تبدیل فوریه پنجره برای سیگنال های فرکانس بالا یکسان است زیرا برای سیگنال های فرکانس پایین است. اصل عدم اطمینان هایزنبرگ بیان می کند که وضوح زمان پنجره به طور معکوس با وضوح فرکانس متناسب است. از آنجا که یک سیگنال فرکانس بالا خیلی سریعتر از یک سیگنال فرکانس پایین تغییر می کند ، ایده آل است که با وضوح زمان بهتر برای بخش های فرکانس بالا سیگنال و وضوح فرکانس بهتر برای بخش های فرکانس پایین سیگنال ، تبدیل شود.
با بازگشت به نمره موسیقی ، ما می توانیم با نگاه کردن به دو نت مختلف ، میانه C و یکی که دو اکتاو بالاتر است ، به نام C6، همانطور که در شکل 3 نشان داده شده است.
شکل 3.
نماد موسیقی برای C و C وسط6.
فرکانس میانی C 261. 63 هرتز و فرکانس C است61046. 50 است [13]. فرکانس C6چهار برابر برای وسط C است ، به این معنی که برای هر چرخه کامل از یادداشت C میانی ، چهار چرخه کامل C6رخ داده است، همانطور که در شکل 4 نشان داده شده است. تبدیل فوریه پنجره ای این محدودیت را دارد که هر دو نت به طور یکسان در نظر گرفته شوند، زمانی که وضوح زمانی برای C6برای اهداف تجزیه و تحلیل باید 4 برابر C متوسط باشد.
شکل 4.
نمودار دامنه برای C و C میانه6.
4. تبدیل موجک
تبدیل موجک با مقیاس معکوس پهنای باند فیلتر به فرکانس، بر محدودیت تبدیل فوریه پنجره‌دار غلبه می‌کند. طبق [14]، در حالی که هر جعبه تبدیل فوریه پنجره ای دارای پهنای باند یکسانی است، هر سطح از تبدیل موجک همان Q را دارد که به صورت تعریف شده است.
این به تبدیل وضوح زمانی مورد نظر را برای بخش های فرکانس بالاتر سیگنال و وضوح فرکانس مطلوب را برای بخش های فرکانس پایین تر می دهد.
5. موجک پیوسته
موجک پیوسته تاریخچه ای طولانی دارد که از دهه 1940 تا کنون را شامل می شود. در سال 1940، نورمن ریکر برای اولین بار اصطلاح موجک و توابع مختلف ریاضی را برای مدل‌سازی امواج لرزه‌ای در حین عبور از پوسته زمین در [3] پیشنهاد کرد. او این را بیشتر در یک سری مقالات اصلاح کرد [15، 16، 17]. این اولین موجک پیوسته بود. توابع در حوزه زمان توسط
معادله سه حلقه نامیده می شود و
معادله دو حلقه [18] نامیده می شود. نمودارهای هر دوی اینها در شکل 5 آمده است.
شکل 5.
سه حلقه (a) و دو حلقه (b) معادله موجک Ricker با fm= 1.
توسعه بعدی موجک های پیوسته در دهه 1980 توسط گروسمن و مورلت انجام شد و توسط استفان مالات و دیگران توسعه یافت [19]. اصطلاح موجک پیوسته به این واقعیت اشاره دارد که می توان آن را در هر مقیاس زمانی مقیاس کرد. موجک‌های گسسته فقط می‌توانند از مقیاس‌های زمانی خاص، معمولاً توان ۲ استفاده کنند.
تجزیه و تحلیل موجک حول محور استفاده از تابع موجک است که در ادبیات تابع مادر نیز نامیده می شود، که به طور سنتی با حرف یونانی upsilon (ψ) نشان داده می شود. یک نیاز کلیدی این است که انرژی متناهی داشته باشد، یعنی.
انرژی تابع موجک معمولاً یک است. توابعی مانند سینوس و کسینوس را نمی توان به عنوان توابع تحلیلی استفاده کرد، زیرا با داشتن انرژی بی نهایت این شرط را نقض می کنند. یک الزام ضمنی وجود دارد که در حالی که دارای انرژی محدود است، باید مقداری انرژی داشته باشد، بنابراین ادغام تابع باید بزرگتر از صفر باشد.
شرط دوم به عنوان شرط پذیرش شناخته می شود، که بیان می کند که تبدیل فوریه تابع موجک نمی تواند یک جزء فرکانس صفر داشته باشد، یعنی.
این تنها در صورتی که ψ ̂ f = 0 برآورده شود ، می تواند برآورده شود ، اما این نیاز مطلق نیست. موجک گابور یک موجک پیچیده است که وضعیت پذیرش را نقض می کند. موجک Morlet یک موجک با ارزش واقعی است که مقدار کمی اما بیشتر از صفر برای مقدار فرکانس صفر برای تبدیل فوریه خود دارد.
شرط سوم معمولاً این است که عملکرد موجک باید از میانگین صفر برخوردار باشد ، به این معنی که باید نوسان کند ، از این رو یک موجک است. از نظر ریاضی این [20] است
شرط دیگر این است که عملکرد موجک از پشتیبانی مؤثر برخوردار است. در حالی که توابع موجک برای موجک های مداوم معمولاً توابع ریاضی هستند که به بی نهایت گسترش می یابند ، پشتیبانی مؤثر بدان معنی است که توابع موجک در خارج از یک محدوده خاص صفر هستند. از آنجا که توابع موجک مداوم به صورت مجانبی به 0 نزدیک می شود که x به ∞ یا - -∞ می رود ، انتخاب مرز این محدوده کمی دلخواه است و می تواند از کاغذ به کاغذ متفاوت باشد.
6. تبدیل موجک مداوم
Morlet و Grossman در سال 1984 در [21] تبدیل موجک مداوم را در سال 1984 رسمی کردند. برای تبدیل مداوم موجک ، عملکرد موجک در زمان تغییر می کند و برای انجام تبدیل موجک [22] همانطور که معادله زیر نشان می دهد ، مقیاس بندی شده است:
تبدیل موجک مداوم به عنوان ادغام عملکردی که باید با ترکیب پیچیده عملکرد موجک مورد تجزیه و تحلیل قرار گیرد تعریف می شود:
در برخی از مقالات مانند [22] ، تعریف تبدیل موجک مداوم را بدون تعریف پیچیده ترکیب می بینید. از آنجا که بیشتر توابع موجک با ارزش واقعی و پیچیده نیستند ، هر دو تعریف معادل هستند ، زیرا ترکیب پیچیده یک عدد واقعی برابر با آن تعداد است. این تفاوت فقط زمانی اتفاق می افتد که عملکرد موجک پیچیده است ، مانند موجک گابور.
یک فرمول جایگزین برای تبدیل مداوم موجک است
جایی که wn(S) دنباله تبدیل شده ، x استn′دنباله اصلی است ، و ψ * ترکیب پیچیده عملکرد موجک تجزیه و تحلیل است ، n نشان دهنده تغییر زمان یا اتساع است و S مقیاس را نشان می دهد. معمولاً تغییر زمان بر تعداد کل نقاط داده عملکرد محاسبه می شود ، و S بیش از مقیاس هایی که مورد تجزیه و تحلیل قرار می گیرند ، برای ارائه یک تصویر دو بعدی از داده ها می رود [23].
7. موجک های گسسته
اولین موجک گسسته در سال 1910 توسط آلفرد هار به عنوان جایگزینی برای تبدیل فوریه ایجاد شد. این شامل دو عملکرد است که در شکل 6 نشان داده شده است ، یکی عملکرد مقیاس بندی و یک عملکرد موجک. عملکرد مقیاس بندی عملکرد مرحله واحد است و عملکرد موجک از جبران هایی از آن تشکیل شده است.
شکل 6.
عملکرد (A) و موجک (B) توابع برای موجک HAAR.
یکی از اشکالات تبدیل موجک مداوم این است که داده های زائد زیادی ایجاد می کند ، زیرا ضرایب بین مقیاس ها بسیار همبسته هستند. اینگرید Daubechies تئوری موج های گسسته را در سال 1988 توسعه داد ، که با از بین بردن افزونگی ، داده های جمع و جور را تولید می کند. Daubechies یک خانواده کامل از توابع موجک را ایجاد کرد که موجک Haar سطح اول موجک Daubechies را تشکیل می داد.
عملکرد موجک برای موجک های گسسته به
جایی که0مقیاس موجک است ، معمولاً 2 [20]. این شرایط و همچنین شرط اینکه J و K عدد صحیح باشد ، موجک را فقط به مقیاس های خاص محدود می کند. عملکرد موجک دارای خواص انرژی محدود ، نوسان و وضعیت پذیرش موج های مداوم و همچنین خواص پشتیبانی جمع و جور ، لحظات ناپدید شده و ارتوگونی بودن است.
پشتیبانی جمع و جور به این معنی است که عملکرد موجک توسط یک سری ضرایب در یک منطقه محدود تعریف می شود و در همه مکان های دیگر صفر است. این در تضاد با موجک های مداوم است که ، همانطور که گفته شد ، عملکردهای ریاضی هستند و از پشتیبانی مؤثر برخوردار هستند که در آن عملکرد به بی نهایت ادامه می یابد ، اما در خارج از محدوده محدود صفر است.
لحظات ناپدید شدن هنگامی بدست می آید که شرط زیر از نظر ریاضی به عنوان تعریف شود
در اینجا ، g (x) تابعی است که باید مورد تجزیه و تحلیل قرار گیرد و n (x) عملکرد روند چند جمله ای است (همچنین یک عملکرد مزاحمت در اقتصاد نامیده می شود).
شرایط ارتوگونی ، افزونگی تبدیل موجک مداوم را از بین می برد. همانطور که قبلاً گفته شد ، تبدیل موجک گسسته فقط در مقیاس های خاص قابل استفاده است ، اغلب یک قدرت 2
یک مبنای متعامد تضمین می کند که سیگنال به صورت فشرده ترین روش ممکن نشان داده می شود. با این حال ، با حذف تمام اطلاعات اضافی ، این همچنین اطلاعات را برای رسیدگی به واریانس تغییر حذف می کند. عملکرد دقیقاً مشابه در دو مکان مختلف می تواند نتایج بسیار متفاوتی به همراه داشته باشد. به منظور مقابله با این امر ، برخی از تحول های موجک گسسته برخی از این اطلاعات زائد را حفظ می کنند.
هر موجک از خانواده موجک گسسته از دو عملکرد ، عملکرد موجک (ψ) ، مانند خانواده های موجک مداوم ، و همچنین یک عملکرد جدید به نام عملکرد مقیاس (ϕ) تشکیل شده است. در ادبیات ، اینها به ترتیب عملکردهای مادر و پدر نامیده می شوند. عملکرد مقیاس گذاری وضعیت پذیرش خاص خود را دارد ، که تضمین می کند که از مؤلفه فرکانس صفر برخوردار است که عملکرد موجک ندارد:
این امر به گونه ای ضروری است که یک تغییر موجک گسسته در تعداد محدودی از مراحل خاتمه یابد و می تواند اطلاعات موجود در سیگنال را به طور کامل بازسازی کند [20]. در غیر این صورت ، مؤلفه فرکانس صفر هرگز نمی تواند ضبط شود ، زیرا هیچ مقدار مقیاس مقیاس نمی تواند باعث شود که فیلتر موجک دارای یک جزء فرکانس صفر باشد.
علاوه بر این ، همانطور که در [25] مشخص شده است معادله مقیاس گذاری از نظر مجموعه محدود از ضرایب p تعریف شده استkکه توسط معادله زیر تعریف شده اند
که به شرایط زیر همانطور که در [25] مشخص شده است ، پیروی می کند:
عملکرد موجک توسط تعریف شده است
جایی که L طول مجموعه ضرایب است ، به طوری که ضرایب موجک اساساً ضرایب مقیاس گذاری به ترتیب معکوس با علائم متناوب هستند. این ضرایب برای اجرای تبدیل موجک گسسته به عنوان یک بانک فیلتر از فیلترهای پاسخ تکانه محدود (FIR) استفاده می شود. نمودار عملکردهای مقیاس پذیر و موجک برای موجک Daubechies سطح 2 در شکل 7 نشان داده شده است و پاسخ فرکانس در شکل 8 نشان داده شده است. همانطور که با موجک HAAR ، عملکرد موجک یک فیلتر عبور بالا است و عملکرد مقیاس گذاری یک فیلتر پاس کم استوادهر دو در اطراف π/2 متقارن هستند.
شکل 7
عملکرد (A) و موجک (B) توابع برای موجک Daubechies سطح 2.
مقالات مختلف و پیاده سازی نرم افزارها دارای ضرایب متفاوتی برای موجک Haar و Daubechies هستند ، بسته به نحوه عادی سازی آنها و اینکه آیا پارامتر مقیاس از Eq.(8) گنجانده شده در فیلتر گنجانده شده است. ضرایب HAAR و DAUBECHIES سطح 2 موجک در جداول 2 و 3 با B تعریف شده توسط اجرای است. Mathematica از 2 برای B استفاده می کند ، که می تواند مجموع ضرایب را به 1 تبدیل کند. Pywavelets از 2 برای B استفاده می کند. در هر اجرای ، ضرایب فیلتر برای فیلتر موجک ضرایب فیلتر مقیاس گذاری به ترتیب معکوس با هر ضریب دیگر است که توسط 1 - 1 ضرب می شود.
| ضرایب مقیاس | ضرایب موجک | ||
|---|---|---|---|
| c0 | 1/b | d0 | 1/b |
| c1 | 1/b | d1 | −1/b |
جدول 2
ضرایب برای مقیاس بندی HAAR و توابع موجک.
| ضرایب مقیاس | ضرایب موجک | ||
|---|---|---|---|
| c0 | 1 + 3 4 b | d0 | 1 - 3 4 b |
| c1 | 3 + 3 4 b | d1 | - 3 + 3 4 b |
| c2 | 3 - 3 4 b | d2 | 3 + 3 4 b |
| c3 | 1 - 3 4 b | d3 | - 1 - 3 4 b |
جدول 3.
ضرایب برای عملکردهای مقیاس 2 و عملکرد موجک Daubechies.
8. تبدیل موجک گسسته
کلاس توابع موجک گسسته دارای تبدیل های زیادی با تبدیل موجک گسسته در شکل 9 متداول است. از آنجا که این تحلیف معرفی شده با موجک HAAR بود ، گاهی اوقات به عنوان تبدیل HAAR [26] و همچنین تبدیل موجک Dedimated گفته می شود [10]. در اصل ، به عنوان یک الگوریتم هرمی کار می کند ، جایی که تعداد ضرایب هر سطح پایین تقریباً دو برابر سطح قبلی است ، اما هر ضریب تحت تأثیر نیمی از داده های تعیین شده به اندازه سطح قبلی است. هر سطح دارای دو مجموعه ضرایب است ، یکی درشت نامیده می شود و دیگری جزئیات نامیده می شود.
شکل 8.
پاسخ فرکانس عملکرد مقیاس (قرمز) و عملکرد موجک (آبی) برای موجک Daubechies سطح 2.
در شکل 9 ، G فیلتر مقیاس پذیر است که توسط مجموعه ضرایب فیلتر مقیاس تعریف شده است و H فیلتر موجک است که توسط مجموعه ضرایب فیلتر موجک تعریف شده است. در هر سطح ، ضرایب جزئیات (W) خروجی ها هستند ، به جز سطح نهایی ، که در آن ضرایب درشت (V) به عنوان خروجی نیز داده می شود. در مجموع ، این مجموعه از ضرایب حاوی اطلاعات کافی برای بازسازی سیگنال به طور کامل است.
یکی از بخش های اصلی تبدیل موجک گسسته ، اپراتور نمونه گیری پایین است که تابعی است که هر موقعیت دیگر را از یک دنباله حذف می کند. به عنوان مثال ، توالی می تواند بسته به اینکه موقعیت های یکنواخت یا عجیب از بین برود ، پس از استفاده از اپراتور نمونه گیری پایین ، یا پس از استفاده از اپراتور نمونه گیری پایین ، یا پس از استفاده از اپراتور نمونه گیری پایین. هر دو معتبر هستند ، با این حال ، با کنوانسیون با تبدیل موجک گسسته ، موقعیت های یکنواخت از بین می روند و فقط موقعیت های عجیب و غریب را به جا می گذارند. اپراتور نمونه گیری پایین همان چیزی است که باعث می شود موجک گسسته عملکرد هرمی را تبدیل کند و همچنین مجموعه ضرایب را به حداقل مقدار لازم برای بازسازی سیگنال کاهش می دهد.
مشکلی که در مورد اپراتور تجزیه وجود دارد ، بسیار مهم است. این زمانی است که توالی های مختلف پس از استفاده از اپراتور ، به همان دنباله نقشه می کشند. به عنوان مثال این است که توالی ها و هر دو به ترتیب توالی می شوند. بنابراین ، فقط با توجه به توالی ، بازسازی اصل غیرممکن خواهد بود. فیلترهای موجک های گسسته برای جبران این امر طراحی شده اند و اطمینان حاصل می کنند که توالی اصلی قابل بازیابی است. ترکیبی از این فیلترها با اپراتور نمونه گیری پایین به عنوان تجزیه گفته می شود.
تبدیل موجک گسسته نیز تبدیل معکوس دارد. این فرآیند همانطور که در شکل 10 توضیح داده شده ترکیب می شود تا یک بازسازی کامل از سیگنال را ایجاد کند، جایی که g ~ ضرایب فیلتر مقیاس معکوس و h ~ ضرایب فیلتر موجک معکوس است. همانطور که تبدیل موجک گسسته دارای عملگر decimation است، تبدیل معکوس دارای عملگر upsampling است. این یک دنباله می گیرد و 0 را در هر موقعیت دیگر درج می کند. به عنوان مثال، دنباله پس از اعمال عملگر خواهد بود.
شکل 9.
نمودار تبدیل موجک گسسته سه سطحی.
پیاده سازی تبدیل موجک گسسته به عنوان یک فیلتر پاسخ تکانه محدود و استفاده از decimation به آن پیچیدگی محاسباتی O(n) می دهد. همانطور که جدول 4 نشان می دهد، یک فرآیند O(n) می تواند بسیار سریعتر از یک گزارش O(n) باشد2n) فرآیندی مانند تبدیل فوریه سریع. در 1 میلیون نمونه، یک فرآیند O(n) تقریباً 20 برابر کمتر از یک گزارش O(n) به عملیات نیاز دارد.2ن) فرآیند (جدول 4).
| n | o (n log2n) | بر) | نسبت |
|---|---|---|---|
| 10 | 34 | 10 | 3. 40 |
| 100 | 665 | 100 | 6. 65 |
| 1000 | 9966 | 1000 | 9. 97 |
| 10،000 | 132،878 | 10،000 | 13. 29 |
| 100000 | 1،660،965 | 100000 | 16. 61 |
| 1000،000 | 19, 931, 569 | 1000،000 | 19. 93 |
جدول 4.
پیچیدگی محاسباتی O(n log2n) در مقابل O(n).
9. تبدیل موجک ثابت
تبدیل موجک دیگر برای توابع موجک گسسته، تبدیل موجک ثابت است که به عنوان تبدیل موجک گسسته غیرقطعی نیز شناخته می شود. اساساً تبدیل موجک ثابت، تبدیل موجک گسسته بدون عملیات کاهش برای داده ها است. در حالی که تعداد ضرایب برای هر سطح نصف سطح قبلی در تبدیل موجک گسسته است، تعداد ضرایب برای هر سطح در تبدیل موجک ثابت یکسان است.
این روش در شکل 11 نشان داده شده است، جایی که gnمجموعه ای از ضرایب فیلتر مقیاس و h استnمجموعه ضرایب فیلتر موجک است. دلیل اینکه ضرایب فیلتر مقیاس و فیلتر موجک برای هر سطح متفاوت است این است که به جای اعمال عملگر decimation بر روی ضرایب داده موجک پس از هر سطح، عملگر upsampling به ضرایب فیلتر موجک و مقیاس بندی اعمال می شود. موجک و ضرایب مقیاس بندی برای هر سطح، همانطور که در شکل 12 نشان داده شده است، از سطح قبلی نمونه برداری می شوند.
شکل 10.
نمودار تبدیل موجک گسسته معکوس سه سطحی.
شکل 11.
نمودار تبدیل موجک ثابت سه سطحی.
مانند تبدیل موجک گسسته، تبدیل موجک ثابت دارای تبدیل معکوس است، همانطور که در شکل 13 نشان داده شده است. همانند تبدیل موجک ثابت، ضرایب فیلتر برای تبدیل موجک ثابت معکوس به جای داده ها تغییر می کند. در این حالت از فیلترها نمونه برداری می شود. حفظ داده‌های اضافی در تبدیل موجک ثابت به تغییر ناپذیر ترجمه کمک می‌کند، که برای فیلتر کردن برنامه‌ها مفید است (شکل 13).
شکل 12.
نمودار یک نمونه برداری فیلتر برای تبدیل موجک ثابت.
شکل 13.
نمودار تبدیل موجک ثابت معکوس سه سطحی.
از آنجایی که از مرحله کاهش استفاده نمی شود، تبدیل موجک ثابت دارای پیچیدگی محاسباتی O(n log است.2n)، همان تبدیل فوریه سریع است. با این حال، پیچیدگی حافظه نیز باید در نظر گرفته شود. در حالی که تبدیل فوریه سریع و تبدیل موجک گسسته دارای پیچیدگی حافظه O(n) است، تبدیل موجک ثابت دارای یک گزارش O(n) است.2ن) پیچیدگی حافظهبنابراین، خروجی همیشه بزرگتر از ورودی خواهد بود.
10. تبدیل بسته موجک گسسته
دو تبدیل قبلی جزئیات و فیلترهای درشت را روی داده ها در هر سطح اعمال کردند. خروجی فیلتر درشت به عنوان ورودی به سطح بعدی داده می شود و خروجی فیلتر جزئیات در آن سطح در مجموعه خروجی های تبدیل قرار می گیرد. در سطح نهایی، خروجی هر دو جزئیات و فیلترهای درشت در مجموعه خروجی های تبدیل گنجانده شد. با این حال، این تنها امکان نیست. تبدیل بسته یک درخت دودویی ایجاد می کند که در آن فیلترهای جزئیات و درشت به هر گره اعمال می شود، که در شکل 14 نشان داده شده است. خروجی فیلتر جزئیات یک فرزند و خروجی فیلتر درشت به دیگری تبدیل می شود. این فرآیند تا رسیدن به سطح نهایی تکرار می شود و مجموعه ای از ضرایب خروجی ایجاد می کند که در آن هر مجموعه با دنباله فیلترهای اعمال شده روی آن مشخص می شود.
شکل 14.
نمودار تبدیل بسته موجک گسسته سه سطحی.
11. تبدیل بسته موجک ثابت
تبدیل بسته موجک ثابت یک تبدیل دیگر برای توابع موجک گسسته است. اساسا، تبدیل موجک ثابت را با تبدیل بسته موجک ترکیب می کند، همانطور که در شکل 15 نشان داده شده است. تبدیل یک درخت باینری ایجاد می کند، مانند تبدیل بسته موجک گسسته، که در آن هر دو فیلتر برای هر سطح در هر گره اعمال می شوند. همانند تبدیل بسته موجک، خروجی از فیلتر جزئیات به یک فرزند و خروجی فیلتر مقیاس‌بندی به دیگری تبدیل می‌شود و این فرآیند تا رسیدن به سطح نهایی تکرار می‌شود. هر مجموعه از ضرایب خروجی نیز با دنباله فیلترهای اعمال شده بر روی آن مشخص می شود، با این تفاوت که از آنجایی که بین سطوح کاهشی اعمال نمی شود، تعداد هر مجموعه از ضرایب خروجی برابر با داده های ورودی است. این منجر به این می شود که تعداد کل ضرایب خروجی 2 برابر تعداد سطوح ضرب در طول داده های ورودی باشد. هر دو تبدیل بسته موجک گسسته و تبدیل بسته موجک ثابت دارای تبدیل معکوس هستند.
شکل 15.
نمودار تبدیل بسته موجک ثابت سه سطحی.
تبدیل بسته موجک امکانات بیشتری را برای استفاده معرفی می کند که برخی از آنها در اینجا مورد بحث قرار می گیرند. بسته به کاربرد، می‌توانید ترکیب‌های مختلفی از فیلترهای مقیاس‌بندی و موجک را انجام دهید. پیچیدگی محاسباتی به ترکیب فیلترهای انتخاب شده بستگی دارد. اگر با حداکثر ترکیبات فیلتر به حداکثر سطح برسد، تبدیل بسته موجک گسسته دارای پیچیدگی O(n log است.2n) و تبدیل بسته موجک ثابت دارای پیچیدگی O(n2) است.
12. نتیجه گیری
تبدیل فوریه سریع به عنوان یکی از الگوریتم های برتر قرن بیستم ذکر شده است [27]. توسعه آن برای پردازش سیگنال دیجیتال مفید بوده است. با این حال، اخیراً یک الگوریتم جدید، تبدیل موجک، شروع به تأثیر قابل توجهی بر پردازش سیگنال دیجیتال کرده است. تبدیل موجک در تبدیل فوریه بهبود می یابد زیرا می تواند سیگنال را بر اساس زمان و فرکانس به طور همزمان تجزیه و تحلیل کند، در نتیجه به راحتی اطلاعات سیگنال محلی را بازیابی می کند. این کلید برای بسیاری از برنامه ها، از جمله تجزیه و تحلیل فراکتال و چندفرکتال، فشرده سازی، و فیلتر است.
تبدیل موجک امکانات بسیاری را برای استفاده معرفی می کند و این فصل فقط سطح آن را لمس کرده است. می توان از موجک های مختلفی استفاده کرد و خود تبدیل را می توان متناسب با برنامه تنظیم کرد همانطور که با تبدیل بسته موجک نشان داده شده است. تحقیقات آینده تعیین ترکیب مناسب از ویژگی ها برای برنامه های مختلف خواهد بود. علاوه بر این ، امکانات دیگری نیز وجود دارد ، مانند تبدیل موجک بلند کردن ، که در این فصل پوشش داده نشده است. فقط موجک های متعامد که از همان مجموعه موجک ها برای تبدیل رو به جلو و معکوس استفاده می کنند ، در این فصل پوشش داده شده بودند. موجک های Biorthogonal که از موج های مختلف برای تبدیل های رو به جلو و معکوس استفاده می کنند نیز در دسترس هستند.
کلید فشرده سازی و فیلتر موجک ، بازنمایی سیگنال پراکنده تولید شده توسط تبدیل موجک است. تبدیل موجک می تواند سیگنال را به حداقل مجموعه ضرایب کاهش دهد. ضرایب نزدیک به صفر می توانند به صفر برسند و اندازه سیگنال را کاهش می دهد. علاوه بر این ، قسمت های کسری ضرایب می توانند گرد شوند ، همچنین اندازه سیگنال را کاهش می دهد. یکی از اولین کاربردهای این امر فشرده سازی اثر انگشت برای FBI بود [28]. همانطور که در [29] بیان شد ، در دهه 1990 FBI 25 میلیون کارت داشت که هر کدام شامل 10 اثر انگشت بودند. دیجیتالی شده ، هر کارت حاوی 10 مگابایت اطلاعات ، برای کل 250 ترابایت بود. با استفاده از تبدیل بسته های موجک گسسته دو بعدی ، نسبت فشرده سازی 20 به 1 را نشان می دهد ، این امکان را فراهم می کند که این بایگانی تقریباً در 12. 5 ترابایت ذخیره شود ، در حالی که هنوز قادر به جستجو و مطابقت با اثر انگشت ناشناخته در برابر موارد موجود در بایگانی است. فرمت JPEG که اخیراً توسعه یافته است در آن زمان بر اساس استفاده از تبدیل گسسته از تبدیل بر روی بلوک های تصویر ساخته شده است که مصنوعات غیرقابل قبول در تصویر باقی مانده است.
JPEG 2000 با استفاده از تبدیل موجک دو بعدی به عنوان جانشین JPEG ساخته شد ، اگرچه این کار را به خود جلب نکرده است. JPEG 2000 هم فشرده سازی ضرر و ضرر را امکان پذیر می کند. همچنین نسل مصنوعی ضرر و زیان را که قالب JPEG همانطور که قبلاً گفته شد ، ندارد. هر دو فشرده سازی ضرر و ضرر از تبدیل موجک گسسته استفاده می کنند ، تفاوت این است که بی ضرر از یک تبدیل موجک استفاده می کند که برگشت پذیر است ، در حالی که یک ضرر از یک تبدیل موجک استفاده می کند که نویز کمیت را معرفی می کند که آن را برگشت ناپذیر می کند.
سنجش فشرده شده با این واقعیت که ما می توانیم اطلاعات گسترده ای را بدست آوریم و بسیاری از آن را می توان دور انداخته و هنوز هم آنچه را که مرتبط است حفظ کنیم. همانطور که در [24] بیان شد ، "تکین ها و ساختارهای نامنظم اغلب مهمترین اطلاعات را در سیگنال ها به همراه دارند."این به این دلیل است که آنها نشان دهنده تغییراتی در یک یا چند مورد از خصوصیات سیگنال هستند. نمونه ای از این می تواند لبه های یک تصویر باشد. سنجش فشرده شده ، اطلاعات اضافی و غیر ضروری را از یک سیگنال حذف می کند و قسمت باقیمانده سیگنال را تجزیه و تحلیل می کند. این یک برنامه ایده آل برای تبدیل موجک است.
از تبدیل موجک گسسته برای شناسایی IRIS برای شناسایی بیومتریک در ثبت اختراع ایالات متحده 2002O150281A1 استفاده شده است [30]. پس از گرفتن عکس از چشم ، عنبیه از تصویر استخراج می شود و سپس به مختصات قطبی تبدیل می شود. با استفاده از تبدیل موجک گسسته ، اجزای فرکانس بالا استخراج می شوند که ضرایب جزئیات آن است که در این مقاله ذکر شده است. این بردار مشخصه ای که برای شناسایی عنبیه از داده های قبلاً ضبط شده استفاده می شود.
تبدیل موجک می تواند روشی کارآمد برای فیلتر کردن نویز سفید از یک سیگنال فراهم کند. این روش شامل استفاده از یکی از موجک های گسسته به داده ها و سپس اجرای یک الگوریتم آستانه است که ضرایب جزئیات را تغییر می دهد. پس از اصلاح ضرایب ، از تبدیل معکوس استفاده می شود. خروجی حاصل نمایشی از سیگنال با مؤلفه نویز به طور قابل توجهی کاهش می یابد.
بسته های بی شماری برای آزمایش با تبدیل موجک در دسترس است. تبدیل موجک گسسته و ثابت در Mathematica ، Maple ، Matlab ، R و Pywavelets برای نامگذاری چند مورد ، با تبدیل بسته موجک موجود در Mathematica ، Matlab و Pywavelets موجود است.
تبدیل موجک بسته به کاربرد ، امکانات زیادی را برای تجزیه و تحلیل سیگنال فراهم می کند. چند برنامه بالقوه در اینجا مورد توجه قرار گرفت. خواننده تشویق می شود تا کاربردها و برنامه های کاربردی خود را برای تبدیل موجک توسعه دهد.
