بهره مرکب: تعریف، انواع، فرمول ها و مثال ها

بهره مرکب: بهره ای است که از اصل (مبلغ اصلی) و بهره ای که قبلاً به دست آمده است، به دست می آید. همچنین هر سال در حال افزایش است. اگر صورت حساب بانکی خود را بررسی کنیم، هر سال مقداری سود به حساب ما واریز می شود. ما می توانیم ببینیم که علاقه برای سال های متوالی افزایش می یابد. سود محاسبه شده توسط بانک ها به عنوان سود مرکب (C. I.) شناخته می شود.

سود مرکب چیست؟

سود مرکب سودی است که به اصل و بهره پرداخت می شود که در فواصل زمانی منظم ترکیب می شود. سودی که تاکنون در فواصل زمانی معین انباشته شده است به مبلغ اصلی موجود اضافه می شود و سپس سود برای اصل جدید محاسبه می شود. اصل جدید برابر است با مجموع اصل اولیه و سود انباشته شده تا کنون.

فرمول بهره مرکب چیست؟

پس از محاسبه کل مبلغ در یک دوره، سود مرکب بر اساس نرخ بهره و اصل اولیه محاسبه می شود.

برای نرخ بهره اولیه \(P\) سالانه \(r,\) در سال، تعداد دفعاتی که سود سالانه ترکیب می شود \(n.\)

فرمول محاسبه مبلغ به شرح زیر است:

فرمول فوق نشان دهنده کل مبلغ در پایان دوره زمانی است و شامل سود مرکب و اصل است. علاوه بر این، ما می توانیم بهره مرکب را با کم کردن اصل از این مقدار محاسبه کنیم.

فرمول محاسبه بهره مرکب به شرح زیر است:

شرایط مربوط به بهره مرکب

برخی اصطلاحات مربوط به بهره مرکب وجود دارد که در زیر به تفصیل توضیح داده شده است:

1. اصل: مبلغی است که برای مدت معینی با نرخ بهره خاص وام داده شده است
2. زمان: مدتی است که اصل آن بیشتر بر حسب سال محاسبه می شود.
3. بهره: سودی است که از اعطای وام اصلی برای یک دوره معین به دست می آید.
4. بهره مرکب: کل سود سالانه ای است که از اعطای اصل وام برای یک دوره معین به دست می آید.
5. نرخ: درصد سود و وام دادن مبلغی پول است.
6. مبلغ: مبلغ نهایی پول باقی مانده در پایان است. این مجموع اصل اصلی و کل بهره مرکب به دست آمده است.

نمادهای مورد استفاده در محاسبه بهره (C. I.) چیست؟

در روش بهره مرکب، وام دهنده و وام گیرنده توافق می کنند که برای تسویه حساب قبلی، واحد زمانی معینی مثلاً سه ماهه، نیم سال، یک سال، دو سال تعیین کنند.

در چنین مواردی ، میزان علاقه ای که در طول این واحد ثابت رخ داده است با مبلغ اصلی اصلی برای به دست آوردن مبلغ اصلی برای واحد بعدی اضافه می شود. سپس ، علاقه این مبلغ دوباره برای واحد بعدی محاسبه می شود و دوباره به مبلغ اصلی اضافه می شود. این روند تا تمام واحدهای زمان به پایان می رسد. این روش محاسبه بهره ، بهره مرکب نامیده می شود.

مشتق فرمول علاقه مرکب

We can derive the formula for compound interest from the formula for simple interest, which is given by. \(I = \frac>>.\)

قبل از اینکه به مشتق فرمول برای علاقه مرکب بپردازیم ، اجازه دهید تفاوت اساسی بین علاقه ساده و محاسبه علاقه مرکب را درک کنیم.

اصلی برای محاسبه بهره ساده در طی یک دوره ثابت باقی می ماند ، اما برای محاسبه علاقه مرکب ، علاقه به اصلی اضافه می شود.

استخراج:

بگذارید اصلی \ p \ باشد) و نرخ بهره در پایان دوره اول ترکیب ، علاقه ساده به مبلغ اصلی \ (\ frac است.<<\Pr >>>. \) و از این رو ، مقدار \ (p + \ frac است<<\Pr >>> = P\left( >> \right).\) The amount is taken as the principal for the second computation period. At the end of the second compounding period, the simple interest in the principal is \(P\left( >> \right) \times \frac>\;.\) And the amount is \(P\left( >> \right) \times \frac> + P\left( >>\ راست) = P<\left( >> \right)^2>.\) Continuing in this manner for n compounding periods, the amount at the end of the \(>\) دوره ترکیب \ (a = p<\left( >> \right)^n>\) از فرمول ها و محاسبات فوق ، می توانیم مشاهده کنیم که علاقه مرکب همان علاقه ساده برای اولین بار از زمان است.

فرمول علاقه مرکب برای دوره های زمانی مختلف

What is the Calculation of Interest Compounded Yearly? For some principal \(P,\) that is borrowed from the person at the rate of \(r\% \) compounded yearly, then the compound interest to be paid is given by \(C.I. = P\left( >>\ راست) - P \)

محاسبه علاقه به مدت دو سال چیست؟اگر اصلی به مدت دو سال پیچیده شود ، مقدار کل توسط \ (a = p داده می شود<\left( <1 + \frac>> \right)^2>\) و علاقه به این موارد داده می شود: \ (p<\left( <1 + \frac>> \right)^2>- پ\)

What is the Calculation of Interest for \(n\) Years? If the principal is compounded for \(>\) سال ، مقدار کل توسط \ (a = p داده می شود<\left( <1 + \frac>> \right)^n>\) و علاقه به این موارد داده می شود: \ (p<\left( <1 + \frac>> \right)^n>- پ\)

محاسبه علاقه برای نیم ساله چیست؟اگر اصلی برای نیم سالانه پیچیده شود ، کل مبلغ توسط \ (a = p داده می شود<\left( <1 + \frac<<\frac>>>> \right)^>\) و علاقه به این موارد داده می شود: \ (p<\left( <1 + \frac<<\frac>>>> \right)^>- پ\)

محاسبه علاقه برای سه ماهه چیست؟اگر اصل سه ماهه پیچیده باشد ، مبلغ کل توسط \ (a = p داده می شود<\left( <1 + \frac<<\frac>>>> \right)^>\) و علاقه به این موارد داده می شود: \ (p<\left( <1 + \frac<<\frac>>>> \right)^>- پ\)

محاسبه بهره ماهانه چیست؟اگر اصلی ماهانه (\ (12 \) ماه در سال) مرکب باشد ، مبلغ کل توسط \ (a = p داده می شود.<\left( <1 + \frac<<\frac>>>>> \right)^>\) و علاقه به این موارد داده می شود: \ (p<\left( <1 + \frac<<\frac>>>>> \right)^>- پ\)

محاسبه علاقه روزانه چیست؟اگر اصلی روزانه (\ (365 \) روز در یک سال) پیچیده شود ، مقدار کل توسط \ (a = p داده می شود<\left( <1 + \frac<<\frac>>>>> \right)^>\) و علاقه به این موارد داده می شود: \ (p<\left( <1 + \frac<<\frac>>>>> \right)^>- پ\)

جدول علاقه مرکب

اکنون که فرمول های علاقه مرکب را ارائه داده ایم ، اجازه دهید خلاصه ای از فرمول های موجود در جدول زیر را داشته باشیم:

نمونه های حل شده - علاقه مرکب

س . 1. سود مرکب \(5000 روپیه\) برای \(1\) سال \(8٪\) در سال را بیابید که هر نیم سال مرکب می شود.

پاسخ: مبلغ اصلی \(= 5000 روپیه\) نرخ بهره \(= 8٪\) زمان \(=1\) سال \(=2\) نیم سال می دانیم که بهره مرکب برای نیم سال \(P<\left( <1 + \frac<<\frac>>>> \right)^>\) \( = 5000<\left( <1 + \frac<8>>> \right)^2>\) \(= 5408 روپیه\)

س . 2. تعداد نژاد خاصی از باکتری ها به میزان \(2٪\) در ساعت افزایش می یابد. اگر تعداد در ابتدا \(600000) بود در پایان \(2\) ساعت باکتری را پیدا کنید.

پاسخ: با توجه به جمعیت اولیه \(\left(P <\left( <1> + \frac>> \right)^n>\) Thus, the population at the end of \(2\) \( = >600000<\left( <1 + \frac<2>>> \right)^2>>ight) = 600000.\) نرخ \(\left(R <\left( <1 + 0.02>\right)^2>ight) = 2\% \) از آنجایی که جمعیت باکتری ها به میزان \(2٪) افزایش می یابد.\) در ساعت، از فرمول \(A = P استفاده می کنیم

\) \( = 60000

Ans : Given, principal \(\left( P \right) = 5000\) Rate of interest \(\left( R \right) = 8>\) \( = 624240\)<\left( <1 + \frac<<\frac>>>>> \right)^>س . 3. مبلغ \( ₹ 5000\) با نرخی استقراض می شود که سود مرکب ماهانه برای \(2\) سال چقدر است؟<\left( <1 + \frac<8>>> \right)^>\) دوره زمانی \(\left( T <\left( <1 + \frac<8>>> \right)^> – 5000\) \( = 5000 \times 1.173 – 5000\) \( = 5865 – 5000 = >ight) = 2\) سال سود مرکب بعد از دو سال = اصل \(

– \) اصل \( = 5000

– 5000\) \( = 5000<\left( <1>–\frac>> \right)^n>>0. 865\) سود مرکب ماهانه برای \(2\) سال \( ₹865.\) است.<\left( <1>–\frac>>> \right)^5>س . 4. شهری در سال 2000 \(10000\) ساکن داشت. جمعیت آن با نرخ \(10%\) در سال کاهش می یابد. کل جمعیت آن در \(2005\) چقدر خواهد بود؟<\left( <1\;–\;0.1>\right)^5>\) \( = 10000>>\) \( = >5904>\left( >.>پاسخ : جمعیت شهر هر سال \(10%\) کاهش می یابد. بنابراین هر ساله جمعیت جدیدی دارد. جمعیت سال آینده بر اساس جمعیت سال جاری محاسبه می شود. برای کاهش، فرمول \(A = P را داریم

\) بنابراین، جمعیت در پایان \(5\) سال \( = 10000

\) \( = 10000<\left( <1 + \frac>> \right)^T>\درست)\)<\left( <1 + \frac<<15>>>> \right)^2> – P\) \( \Rightarrow 1290 = P\left( \right)\) \( \Rightarrow P = \frac><>س 5 . Keerthi مبلغ معینی را با نرخ \(15٪\) در سال وام گرفت. اگر او در پایان دو سال \(1290 روپیه\) به عنوان بهره مرکب سالانه پرداخت کند، مبلغ وام گرفته شده را پیدا کنید؟

پاسخ: با توجه به: نرخ بهره \(= 15%\) دوره زمانی \(= 2\) سال سود مرکب \(\چپ( \راست)\؛ = 1290 ₹\) \(C. I = P

– P\) \( \Rightarrow 1290 = P

\) \( \پیکان راست P = 4000 ₹\) بنابراین، مجموع آن \(₹ 4000.\) است.

س . 6. تفاوت بین SI و CI مبلغ معینی پول \( ₹ 48\) در \(20٪\) در سال برای دو سال، اصل پول را پیدا کنید.

خلاصه

در این مقاله فرمول محاسبه بهره مرکب را ارائه کرده ایم. همچنین نمونه های بهره مرکب را برای شما آورده ایم تا در این موضوع مطمئن شوید. سود مرکب در فواصل منظم مانند سالانه (سالانه)، شش ماهه، سه ماهه، ماهانه و غیره محاسبه می شود. بانک ها و سایر سازمان های مالی مبلغ را فقط بر اساس سود مرکب محاسبه می کنند.

سؤالات متداول (پرسش متداول) - علاقه مرکب

Q. 1. چگونه سود ماهانه را محاسبه می کنید؟

Q. 2. سود مرکب چیست؟<\left( <1 + \frac<<\frac>>>>> \right)^>- پ\)

Q. 3. فرمول ترکیبی روزانه چیست؟

پاسخ: فرمول بهره مرکب هنگامی که سود روزانه مرکب می شود با: \(P

- پ\)

Q. 4. نامیتا \( 50, 000 روپیه\) برای \(3. 5٪\) در سال وام گرفت. سود انباشته شده در پایان \(3\) سال را پیدا کنید.

پاسخ: \(P \; = \; 50, 000 روپیه\)

بنابراین، سود ساده \(5250 روپیه است.\)

Ans : For some principal \(\left( P \right),\) that is borrowed from the person at the rate of \(r%\) compounded yearly, then the compound interest to be paid is given b­y \(C.I = P\left( >>\ راست) - P \)